把打爆款做成一道数学题：先解出那个“万能公式”

数学考试里，很多题看着不一样。其实它们的根子是同一个。我们把这种最根本的题，叫做“母题”。它就像一个“妈妈”，能生出很多长得有点像的“孩子”题。你要是把这个“妈”给认准了，那它的“孩子”再怎么变，你也认得。

一、 什么是“母题”？

课本上就有一道经典的母题。在人教版教材的102页第5题。它长这个样子：

这道题就在两条平行线之间，画了一个长方形、一个平行四边形、一个三角形、还有一个梯形。它想让你研究一下这些图形的面积有什么关系。

但是，问题来了。在课本上，它就是一张不会动的图。老师在讲台上讲，学生在下面听。老师说：“同学们，我们想象一下……”。这个“想象”对很多孩子来说，太难了。他们看不见图形是怎么变化的。他们只能死记硬背公式。所以他们觉得数学难。这不是他们的错。是这种学习方式本身有问题。它不够直观。

二、 当AI遇上母题：看见思维的过程，让“图形面积”活起来！

我就想，得换个方法。不能再让孩子们硬着头皮去“想象”了。我试着用AI技术做了一个动画。这个动画能让图形动起来。你可以用手拖动它，改变它的形状。旁边的面积数字也会跟着实时变化。当我在课堂上展示这个东西的时候，孩子们眼睛都亮了。他们觉得这不是在上数学课，像是在玩一个游戏。

整个过程，我分了四步走。

第一步：自己动手量，发现问题

我没有一开始就讲公式。我让所有学生拿出尺子。先做一件事：动手量图上那四个图形的底和高。然后，再根据量出来的数字，把它们的面积都算一遍。

教室里马上就有了声音。大家都在动手测量和计算。我走下去看的时候，发现一个有意思的现象。有个孩子，他只量了第一个长方形的高。后面三个图形，他就只量底，不量高了。我问他为什么。他说：“老师，这几个图形不是都在两条平行线中间吗？那它们的高肯定都一样长。我量一次就够了。”

这个观察就很棒。他自己发现了“等高”这个藏起来的条件。这比我直接告诉他要强一百倍。这说明他真的在动脑子观察。

很快，大家就算出了结果。
一个学生站起来说：“我算出来长方形的面积是3.6平方厘米！”
另一个跟着说：“我的平行四边形面积也是3.6平方厘米！”
班里开始有小声的惊叹：“哇，我的三角形算出来也是3.6！”
最后算完梯形的孩子也喊起来：“梯形的面积，居然也是3.6平方厘米！”

这下就有意思了。它们明明长得高矮胖瘦各不相同。为什么面积会一模一样？学生们开始讨论。他们猜，肯定是“高”和“底”里面有秘密。光是“高相等”还不够。

第二步：列出公式，找到关联

我让学生把这四个图形的面积公式都写在草稿纸上。并排写在一起，让他们自己去对比。

长方形面积 = 底 × 高
平行四边形面积 = 底 × 高
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2

学生们盯着这几个公式，很快就找到了关键。
一个学生说：“长方形和平行四边形的面积公式几乎一样。它们的高相等，面积也相等。那说明它们的底也必须一样长。”
另一个学生接着说：“三角形的公式里有个‘÷2’。它的面积要和长方形相等，那它的‘底×高’就必须是长方形的两倍。因为高一样，所以它的底必须是长方形底的两倍。”
“梯形也一样！”又有一个学生补充，“梯形公式里也有个‘÷2’。所以它的‘(上底+下底)’的和，也必须是长方形底的两倍。”

他们自己总结出了一个核心。要保证面积相等，除了高相同，那个参与计算的“底”也得想办法变得一样。我把这个叫做“有效底边”。
比如，三角形的有效底边，其实是它真实底边长度的一半。
梯形的有效底边，是它上下底加起来总长度的一半。
想通了这一点，那道母题的第一个秘密就被解开了。

第三步：动手操作，验证猜想

光有推测还不够。我得让他们亲眼看到变化。这时候，AI动画就派上用场了。
我给他们提了一个新问题：“如果高不变，我怎么才能让三角形的面积，不多不少，正好是那个平行四边形面积的一半？”
孩子们都猜，应该要去改变三角形的底。

这是它的工作原理：在屏幕上，那几个图形都在。我做了一个可以拖动的滑块。这个滑块连着三角形的底边。你用鼠标拖动滑块，三角形的底就会变长或者变短。最关键的是，旁边会有一个数字框，实时显示这个三角形的面积。

我叫了一个学生上来操作。
他小心地拖动滑块。全班同学的眼睛都盯着屏幕上的面积数字。
“大了大了！” “小了，往回一点！”
那个数字不停地跳动。最后，操作的同学喊了一声“停！”，当三角形的面积数字，正好是平行四边形面积数字一半的时候，他停了下来。
我问大家：“你们现在看看，这个三角形的底边，和旁边那个平行四边形的底边，有什么关系？”
大家一眼就看出来了：它们变得一样长了！
这个操作，让所有人都确信了刚才的推导。S=底×高÷2，如果要让它的面积减半，在“高”不变的情况下，只能让“底”减半。亲眼看到，比任何解释都有力。

第四步：整合变形，理解本质

最后，我问了一个更深的问题：“长方形、平行四边形、三角形、梯形，它们的面积公式看起来都不一样。你们想过没有，它们其实可能是一家人？”

学生们都觉得这不可能。
我没有解释。我再次打开了AI动画。
先做第一步：屏幕上只留下一个梯形。我拖动它上面那条底，也就是“上底”，让它慢慢变短，变短，再变短，最后缩成了一个点。
就在它缩成点的那一瞬间，整个图形变成了一个三角形。
我指着梯形的面积公式 S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 问他们：“现在上底变成0了，公式应该怎么写？”
学生们很快反应过来：S = (0 + 下底) × 高 ÷ 2。这不就是三角形的面积公式吗！

再做第二步：我把那个点又拉开，恢复成梯形。这次，我拖动上底，让它慢慢变长，直到它和下面那条底，也就是“下底”，变得一样长。
图形瞬间变成了一个标准的平行四边形。
我又问：“现在上底和下底一样长了，公式又该怎么写？”
S = (下底 + 下底) × 高 ÷ 2，也就是 S = (2 × 下底) × 高 ÷ 2。把两个“2”约掉，最后就剩下：S = 下底 × 高。这不就是平行四边形的面积公式吗！

做完这两个演示，教室里特别安静。孩子们都明白了。原来梯形公式是那个最根本的“万能公式”。三角形是上底为0的特殊梯形。平行四边形是上下底相等的特殊梯形。知识一下子就串起来了。

三、 深度拆解：从母题到变式的“七十二变”

把这个母题彻底弄懂之后，再去看考试里的那些变形题，就简单多了。它们只是给母题穿了不同的“衣服”。

四、 为课堂赋能，为学生减负：让数学学习更高效、更有趣！

我做这些，不是为了让课堂看起来很时髦。而是为了解决实际问题。

对老师来说，好处很直接。以前，我得在黑板上费劲地画图，画得还不一定标准。而且光靠一张嘴说“这里变长，那里变短”，学生很难跟上。现在有了AI动画，图是标准的，变化过程是清晰的。我可以把更多的时间和精力，用在引导学生思考上。比如问他们“为什么会这样？”，或者“如果我改变另一个条件，结果会怎样？”。

对学生来说，这才是真正的减负。减负不是说不学习、少做题。而是要学得更明白，不做重复的、机械的练习。当一个学生把这道图形面积的母题彻底“玩”明白了，他知道了面积变化的根本原因。那么不管考试题目怎么变，给他数字也好，给他故事情境也好，他都能一眼看穿背后的逻辑。他做题的速度和准确率自然就上去了。

学生自己动手去拖动那个滑块，去验证自己的猜想。这个过程带来的成就感和理解深度，比被动地听我讲十遍公式要好得多。他自己发现了规律，知识就真正变成了他自己的东西。这样学来的知识，不容易忘，而且会让他觉得数学有意思，从而建立信心。

最近看了何月丰校长的书，叫《教好习题，成长学生》，里面很多想法让我很有共鸣。我以后会继续尝试做更多这样可视化的教学内容。目的很简单，就是想办法把厚厚的书本内容，变成学生脑子里清晰的、动态的思路。